相信不少讀者還會記得《有你終生美麗》（A Beautiful Mind）這齣有關一位傳奇數學家的電影，在影片的開始，男主角在陽光下以手中的玻璃杯折射出一些圖案，恰巧重疊到他同學領帶的花紋上，然後男主角淡淡的說出一句：「你的領帶那麼差勁，是可以用數學來解釋的。」


這句話也許只是電影製作人的無心插柳，但中大數學系的魏軍城教授會告訴你，數學藏身於大自然的各種現象，尋找物理、生命，甚至金融學等等的奧秘，數學都用得上。上述電影情節提及的光線折射，便可以由麥斯威爾方程（Maxwell Equations）來描述；自然界中花鹿和野豹的斑點，又或是小丑魚和斑馬的斑紋，則可以由一個描述「反應擴散系統」（Reaction-DiffusionSystem）的偏微分方程組來概括。這些方程由於需要表達某種變量隨時間及空間變化的關係，故需要以微分這個數學算子來表達，於是就有偏微分方程的概念。


以動物為例，其身上的點紋與斑紋，其實是一種色素的分子，在另一種色素的介質之間分布或累積、相互作用的結果。「反應擴散方程」可以描述兩種正在產生相互作用的介質，在不同的比例之下，其中一個介質是如何於另一個介質之間分布及累積，所以能用來解釋動物身上漂亮有致的點紋，甚至是人類體膚上濃淡不一，又會不時移位的墨痣。


在兩種分量比例較均衡的介質之間，反應擴散方程組的數學解釋給出的圖案恰好是斑紋，在分量比例較極端時則會是點紋，所以斑與點都可以用一對「反應擴散方程」來解釋。說明白一點，小丑魚身上橙黃色與黑色的色素，正是因為比例較均衡，所以表現出斑紋的分布形式；倘若是橙色極多而黑色極少的話，方程告訴我們黑色素會以點紋方式聚集，小丑魚身上便會出現豹紋了。然而簡單的方程只能解釋較簡單的自然現象，愈是繁瑣的現象背後，其微分方程就愈見複雜，要發掘及了解內裏的數學結構也就愈是困難。


魏軍城教授過去一直致力研究偏微分方程，尤其是非線性橢圓方程及方程組凝聚現象，並取得國際公認的成績。純數學中一個著名的猜想是1978年由意大利數學家Ennio de Giorgi提出的de Giorgi猜想，一直以來吸引了全球數學家的關注，是非線性方程中最重要的問題。在2006年之前的研究，證實該猜想適用於八維空間或以下，因此學界認為該猜想在所有的維數皆是站得住腳的。然而，魏教授與他的研究夥伴，以創新的數學方法，找到了九維以上的一個反例，證明de Giorgi的猜想在九維或以上不能成立，破解了這個數學謎團。


魏教授這個研究成果，也令他克服了求解複雜「反應擴散方程」的困難。他發現隨着方程中的擴散系數增加，點紋會開始不穩定，一分為二，甚至會變出更複雜的花紋圖案。自然界看似紛亂隨機的現象，其實都可以透過人類智慧歸納出條理分明的秩序來。


數學研究除了讓我們看透單一現象，也顯示了數學的普遍性及結構美。「反應擴散方程」不只為研究動物的斑點服務，在了解超導體的物理結構，了解傳染病的蔓延，乃至細胞尋找營養方面都有貢獻。也因為如此，在這數學領域開拓研究，了解微分方程的數學結構，其意義可以超越數學問題本身，延伸至它所支配的各個知識領域。這也是令魏教授等數學家着迷的地方。